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北理工在穩態型裏奇孤立子的分類研究方面取得研究成果


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日前,北京理工大学数学与统计学院邓宇星教授在国际顶级学术期刊《Journal of the European Mathematical Society》发表题为“Higher dimensional steady Ricci solitons with linear curvature decay”的研究论文。该论文证明了当维数不小于4时,数量曲率线性衰减并且具有非负曲率算子的体积非塌缩稳态型里奇孤立子必然旋转对称。也就是说,这类孤立子或者同构于欧式空间,或者同构于Bryant孤立子。当维数为4时,曲率算子非负条件可以减弱成截面曲率非负。

2002年至2003年,Perelman (Fields奖得主)引入里奇流解决了具有一百多年历史的三维 Poincare 猜想以及更加广泛的几何化猜想。在他的证明中,奇性分析起着至关重要的作用。如何推广Perelman的工作以研究四维流形的几何与拓扑成为大家关心的问题。然而,四维里奇流的奇点更加复杂。Freedman(Fields奖得主)和Bennett Chow等数学家猜测四维里奇流的奇点分类可归结为稳态型孤立子(steady Ricci soliton)和收缩型里奇孤立子(shrinking Ricci soliton)的分类。关于稳态型里奇孤立子,Perelman在他解决三维 Poincare 猜想的论文提出过一个有名的猜测。这个猜测是说,三维非平凡且体积非塌缩的稳态型里奇孤立子必然旋转对称,即必然是Bryant孤立子。2012年,Simon Brendle(Bocher奖得主)证明了此猜测。对于更高维数的稳态型里奇孤立子,Brendle在渐近柱状结构条件下证明了具有正截面曲率的孤立子的旋转对称性。Brendle所引入的渐近柱状条件由数量曲率线性衰减和降维条件两部分组成。降维假设的定义比较复杂。当维数为3时,体积非塌缩条件可以推出曲率线性衰减和降维条件。但是,当维数为4时,在正曲率条件下,体积非塌缩条件能否推出曲率线性衰减和降维条件仍然是未知的。里奇流著名专家Hamilton(Veblen奖得主)猜测存在四维体积非塌缩的具有正曲率算子的稳态型里奇孤立子,且该孤立子没有曲率衰减。也就是说,他认为曲率衰减条件不能去掉。

邓宇星与北京大学朱小华教授(陈省身数学奖得主)证明了在维数大于或等于4时,数量曲率线性衰减并且具有非负曲率算子的体积非塌缩稳态型里奇孤立子必然旋转对称。当维数为4时,曲率算子非负条件可以减弱成截面曲率非负。由于里奇流奇点分析中出现的孤立子都自动满足体积非塌缩条件,大家更关心满足体积非塌缩条件的稳态型里奇孤立子。对于体积非塌缩这类大家最关心的孤立子,邓宇星等人的分类结果去掉了Brendle定理中的降维假设,本质地改进了Brendle的工作。《Journal of the European Mathematical Society》期刊的审稿人一致评价该结果为目前四维和四维以上稳态型里奇孤立子的最好分类结果。

這項研究工作是由鄧宇星教授與北京大學朱小華教授合作完成,鄧宇星教授爲第一作者,本項工作得到國家自然科學基金的資助。

論文鏈接:https://www.ems-ph.org/journals/show_abstract.php?issn="1435-9855&vol=22&iss=12&rank=7&p403=1


附附研究團隊及個人簡介:

邓宇星,教授,北理工数学与统计学院几何团队主要成员。本科毕业于北京师范大学、博士毕业于北京大学。长期从事微分几何特别是里奇流的研究工作,于2020年获得国家优秀青年基金(项目号12022101),曾主持国家自然科学基金面上项目等两项。以第一作者在Journal of the European Mathematical Society 、Mathematische Annalen 、Transactions of the American Mathematical Society、International Mathematics Research Notices、Mathematische Zeitschrift等综合期刊发表SCI论文八篇。


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